Analysis Beispiele

$\int 8 x \sec^{2} (x^{2}) d x$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int x \sec^{2} (x^{2}) d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$8 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sec^{2} (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\frac{8}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$4 (\tan (u) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$4 \tan (u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 \tan (x^{2}) + C$