Analysis Beispiele

$\int 5 {(\sqrt{v^{2} + 8})}^{2} d v$

Schritt 1

Schreibe ${(\sqrt{v^{2} + 8})}^{2}$ als $v^{2} + 8$ um.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{v^{2} + 8}$ als ${(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int 5 {({(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} d v$

Schritt 1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} d v$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} d v$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{\frac{2}{2}} d v$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int 5 {(v^{2} + 8)}^{1} d v$

Schritt 1.5

Vereinfache.

$\int 5 (v^{2} + 8) d v$

Schritt 2

Multipliziere $5 (v^{2} + 8)$ .

$\int 5 v^{2} + 5 \cdot 8 d v$

Schritt 3

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\int 5 v^{2} + 40 d v$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 v^{2} d v + \int 40 d v$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int v^{2} d v + \int 40 d v$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $v^{2}$ nach $v$ gleich $\frac{1}{3} v^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} v^{3} + C) + \int 40 d v$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$5 (\frac{1}{3} v^{3} + C) + 40 v + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $v^{3}$ .

$5 (\frac{v^{3}}{3} + C) + 40 v + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{5 v^{3}}{3} + 40 v + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{3} v^{3} + 40 v + C$