Analysis Beispiele

$\int_{5}^{7} - \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{5}^{7} \frac{2}{x^{3}} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (2 \int_{5}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Schritt 3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \int_{5}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 3.2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 2 \int_{5}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int_{5}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 2 \int_{5}^{7} x^{- 3} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{5}^{7})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{5}^{7})$

Schritt 5.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{5}^{7})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $- \frac{1}{2 x^{2}}$ bei $7$ und $5$ .

$- 2 ((- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}})$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $49$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 5^{2}})$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 25})$

Schritt 5.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} + \frac{1}{50})$

Schritt 5.2.2.5

Um $- \frac{1}{98}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{50})$

Schritt 5.2.2.6

Um $\frac{1}{50}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{49}{49}$ .

$- 2 (- \frac{1}{98} \cdot \frac{25}{25} + \frac{1}{50} \cdot \frac{49}{49})$

Schritt 5.2.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2450$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{98}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$- 2 (- \frac{25}{98 \cdot 25} + \frac{1}{50} \cdot \frac{49}{49})$

Schritt 5.2.2.7.2

Mutltipliziere $98$ mit $25$ .

$- 2 (- \frac{25}{2450} + \frac{1}{50} \cdot \frac{49}{49})$

Schritt 5.2.2.7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{50}$ mit $\frac{49}{49}$ .

$- 2 (- \frac{25}{2450} + \frac{49}{50 \cdot 49})$

Schritt 5.2.2.7.4

Mutltipliziere $50$ mit $49$ .

$- 2 (- \frac{25}{2450} + \frac{49}{2450})$

Schritt 5.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 \frac{- 25 + 49}{2450}$

Schritt 5.2.2.9

Addiere $- 25$ und $49$ .

$- 2 (\frac{24}{2450})$

Schritt 5.2.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $2450$ .

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Schritt 5.2.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$- 2 \frac{2 (12)}{2450}$

Schritt 5.2.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2450$ heraus.

$- 2 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1225}$

Schritt 5.2.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1225}$

Schritt 5.2.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 (\frac{12}{1225})$

Schritt 5.2.2.11

Kombiniere $- 2$ und $\frac{12}{1225}$ .

$\frac{- 2 \cdot 12}{1225}$

Schritt 5.2.2.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$\frac{- 24}{1225}$

Schritt 5.2.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{24}{1225}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{24}{1225}$

Dezimalform:

$- 0.01959183 \dots$

Schritt 7