Analysis Beispiele

$\int_{5}^{10} \sqrt{100 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 10 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 10 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $10 \cos (t)$ positiv ist.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{100 - {(10 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $10 \sin (t)$ an.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - (10^{2} \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - (100 \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $100$ mit $- 1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $100$ aus $100$ heraus.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1) - 100 \sin^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $100$ aus $- 100 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $100$ aus $100 (1) + 100 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 (1 - \sin^{2} (t))} (10 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{100 \cos^{2} (t)} (10 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $100 \cos^{2} (t)$ als ${(10 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(10 \cos (t))}^{2}} (10 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 10 \cos (t) (10 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 100 \cos^{2} (t) d t$

Schritt 3

Da $100$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $100$ aus dem Integral.

$100 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Schritt 4

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$100 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$100 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $100$ .

$\frac{100}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $100$ heraus.

$\frac{2 \cdot 50}{2} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{50}{1} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $50$ durch $1$ .

$50 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$50 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 9.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

Schritt 9.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 9.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 9.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

Schritt 9.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 10

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \cos (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π})$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}$ .

$50 (t]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}}{2})$

Schritt 14

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 14.1

Berechne $t$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{6}$ .

$50 ((\frac{π}{2}) - \frac{π}{6} + \frac{\sin (u)]_{\frac{π}{3}}^{π}}{2})$

Schritt 14.2

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $\frac{π}{3}$ .

$50 ((\frac{π}{2}) - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 14.3

Vereinfache.

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Schritt 14.3.1

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$50 (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 14.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$50 (\frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 14.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$50 (\frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 14.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$50 (\frac{π \cdot 3 - π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 14.3.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$50 (\frac{3 \cdot π - π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 14.3.5

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$50 (\frac{2 π}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 14.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 14.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$50 (\frac{2 (π)}{6} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 14.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$50 (\frac{2 π}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 14.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$50 (\frac{2 π}{2 \cdot 3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 14.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$50 (\frac{π}{3} + \frac{(\sin (π)) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (π) - \sin (\frac{π}{3})}{2})$

Schritt 15

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (π) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$50 (\frac{π}{3} + \frac{\sin (0) - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Schritt 16.1.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{0 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Schritt 16.1.1.3

Subtrahiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ von $0$ .

$50 (\frac{π}{3} + \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{2})$

Schritt 16.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 16.1.3

Multipliziere $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 16.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2})$

Schritt 16.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$50 (\frac{π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$50 \frac{π}{3} + 50 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 16.3

Kombiniere $50$ und $\frac{π}{3}$ .

$\frac{50 π}{3} + 50 (- \frac{\sqrt{3}}{4})$

Schritt 16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ in den Zähler.

$\frac{50 π}{3} + 50 \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Schritt 16.4.2

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$\frac{50 π}{3} + 2 (25) \frac{- \sqrt{3}}{4}$

Schritt 16.4.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{50 π}{3} + 2 \cdot 25 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{50 π}{3} + 2 \cdot 25 \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{50 π}{3} + 25 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 16.5

Kombiniere $25$ und $\frac{- \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{50 π}{3} + \frac{25 (- \sqrt{3})}{2}$

Schritt 16.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\frac{50 π}{3} + \frac{- 25 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 16.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{50 π}{3} - \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{50 π}{3} - \frac{25 \sqrt{3}}{2}$

Dezimalform:

$30.70924246 \dots$

Schritt 18