Analysis Beispiele

$\int_{- 5}^{5} 8 - | x | d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 5}^{5} 8 d x + \int_{- 5}^{5} - | x | d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$8 x]_{- 5}^{5} + \int_{- 5}^{5} - | x | d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$8 x]_{- 5}^{5} - \int_{- 5}^{5} | x | d x$

Schritt 4

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $x$ positiv oder negativ ist.

$8 x]_{- 5}^{5} - (\int_{- 5}^{0} - x d x + \int_{0}^{5} x d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$8 x]_{- 5}^{5} - (- \int_{- 5}^{0} x d x + \int_{0}^{5} x d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 x]_{- 5}^{5} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{0}) + \int_{0}^{5} x d x)$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$8 x]_{- 5}^{5} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \int_{0}^{5} x d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 x]_{- 5}^{5} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$8 x]_{- 5}^{5} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $8 x$ bei $5$ und $- 5$ .

$(8 \cdot 5) - 8 \cdot - 5 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 5$ .

$(8 \cdot 5) - 8 \cdot - 5 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5})$

Schritt 9.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $5$ und $0$ .

$(8 \cdot 5) - 8 \cdot - 5 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4

Vereinfache.

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Schritt 9.2.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$40 - 8 \cdot - 5 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 5$ .

$40 + 40 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.3

Addiere $40$ und $40$ .

$80 - (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$80 - (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.2.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$80 - (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$80 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$80 - (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$80 - (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.5.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$80 - (- (0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.6

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$80 - (- (0 - \frac{25}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.7

Subtrahiere $\frac{25}{2}$ von $0$ .

$80 - (- - \frac{25}{2} + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$80 - (1 (\frac{25}{2}) + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.9

Mutltipliziere $\frac{25}{2}$ mit $1$ .

$80 - (\frac{25}{2} + (\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.10

Potenziere $5$ mit $2$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 9.2.4.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 9.2.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.2.4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 9.2.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 9.2.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 9.2.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 9.2.4.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} - 0)$

Schritt 9.2.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2} + 0)$

Schritt 9.2.4.14

Addiere $\frac{25}{2}$ und $0$ .

$80 - (\frac{25}{2} + \frac{25}{2})$

Schritt 9.2.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$80 - \frac{25 + 25}{2}$

Schritt 9.2.4.16

Addiere $25$ und $25$ .

$80 - \frac{50}{2}$

Schritt 9.2.4.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $2$ .

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Schritt 9.2.4.17.1

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$80 - \frac{2 \cdot 25}{2}$

Schritt 9.2.4.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$80 - \frac{2 \cdot 25}{2 (1)}$

Schritt 9.2.4.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$80 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2.4.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$80 - \frac{25}{1}$

Schritt 9.2.4.17.2.4

Dividiere $25$ durch $1$ .

$80 - 1 \cdot 25$

Schritt 9.2.4.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$80 - 25$

Schritt 9.2.4.19

Subtrahiere $25$ von $80$ .

$55$

Schritt 10