Analysis Beispiele

$\int_{4}^{9} 2 x \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{4}^{9} 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} 2 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{4}^{9} 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

Schritt 1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

Schritt 1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\int_{4}^{9} 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{4}^{9} x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]_{4}^{9})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ bei $9$ und $4$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$2 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 4.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{2 \cdot 3^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$2 (\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $243$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 4.2.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Schritt 4.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Schritt 4.2.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 2^{5}}{5})$

Schritt 4.2.2.9

Potenziere $2$ mit $5$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{2 \cdot 32}{5})$

Schritt 4.2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $32$ .

$2 (\frac{486}{5} - \frac{64}{5})$

Schritt 4.2.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{486 - 64}{5}$

Schritt 4.2.2.12

Subtrahiere $64$ von $486$ .

$2 (\frac{422}{5})$

Schritt 4.2.2.13

Kombiniere $2$ und $\frac{422}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 422}{5}$

Schritt 4.2.2.14

Mutltipliziere $2$ mit $422$ .

$\frac{844}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{844}{5}$

Dezimalform:

$168.8$

Darstellung als gemischte Zahl:

$168 \frac{4}{5}$

Schritt 6