Analysis Beispiele

$\int \frac{4 (\cos (x))}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \int u^{- 2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$4 (- u^{- 1} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $4 (- u^{- 1} + C)$ als $4 (- \frac{1}{u}) + C$ um.

$4 (- \frac{1}{u}) + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \frac{1}{u} + C$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 4}{u} + C$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- \frac{4}{\sin (x)} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Separiere Brüche.

$- (\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) + C$

Schritt 7.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$- (\frac{4}{1} \csc (x)) + C$

Schritt 7.3

Dividiere $4$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 4 \csc (x) + C$