Analysis Beispiele

$\int 4 e^{2 x} + \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 3

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 4

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C) + \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bringe $x^{5}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 (e^{u} + C) + \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Schritt 8.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (e^{u} + C) + \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$2 (e^{u} + C) + \int x^{- 5} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$2 (e^{u} + C) - \frac{1}{4} x^{- 4} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache.

$2 e^{u} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{4}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$2 e^{u} - \frac{1}{x^{4} \cdot 4} + C$

Schritt 10.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$2 e^{u} - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 e^{2 x} - \frac{1}{4 x^{4}} + C$