Analysis Beispiele

$\int_{4}^{9} \frac{x - \sqrt{x}}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{4}^{9} (x - \sqrt{x}) x^{- 3} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{4}^{9} (x - x^{\frac{1}{2}}) x^{- 3} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{4}^{9} x \cdot x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{1} x^{- 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{4}^{9} x^{1 - 3} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Schritt 4.4

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2}} x^{- 3} d x$

Schritt 4.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - (x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}) d x$

Schritt 4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3} d x$

Schritt 4.7

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Schritt 4.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 4.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{1 - 6}{2}} d x$

Schritt 4.10.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{\frac{- 5}{2}} d x$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{4}^{9} x^{- 2} d x + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - x^{- \frac{5}{2}} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - \int_{4}^{9} x^{- \frac{5}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3}]_{4}^{9})$

Schritt 10.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9})$

Schritt 10.1.3

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{4}^{9} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $9$ und $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}]_{4}^{9})$

Schritt 10.2.2

Berechne $- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ bei $9$ und $4$ .

$(- 9^{- 1}) + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + 4^{- 1} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.3

Um $- \frac{1}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.4

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$- \frac{4}{36} + \frac{9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 + 9}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.7

Addiere $- 4$ und $9$ .

$\frac{5}{36} - ((- \frac{2}{3 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.8

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 3^{3}} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.11

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{3 \cdot 27} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.12

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 4^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.13

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 10.2.3.14

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Schritt 10.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}})$

Schritt 10.2.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 2^{3}})$

Schritt 10.2.3.16

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{3 \cdot 8})$

Schritt 10.2.3.17

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2}{24})$

Schritt 10.2.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $24$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.18.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 (1)}{24})$

Schritt 10.2.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Schritt 10.2.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12})$

Schritt 10.2.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} + \frac{1}{12})$

Schritt 10.2.3.19

Um $- \frac{2}{81}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12})$

Schritt 10.2.3.20

Um $\frac{1}{12}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2}{81} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Schritt 10.2.3.21

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $324$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.21.1

Mutltipliziere $\frac{2}{81}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{81 \cdot 4} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Schritt 10.2.3.21.2

Mutltipliziere $81$ mit $4$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{1}{12} \cdot \frac{27}{27})$

Schritt 10.2.3.21.3

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{12 \cdot 27})$

Schritt 10.2.3.21.4

Mutltipliziere $12$ mit $27$ .

$\frac{5}{36} - (- \frac{2 \cdot 4}{324} + \frac{27}{324})$

Schritt 10.2.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{36} - \frac{- 2 \cdot 4 + 27}{324}$

Schritt 10.2.3.23

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.23.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{5}{36} - \frac{- 8 + 27}{324}$

Schritt 10.2.3.23.2

Addiere $- 8$ und $27$ .

$\frac{5}{36} - \frac{19}{324}$

Schritt 10.2.3.24

Um $\frac{5}{36}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{324}$

Schritt 10.2.3.25

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $324$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.25.1

Mutltipliziere $\frac{5}{36}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{19}{324}$

Schritt 10.2.3.25.2

Mutltipliziere $36$ mit $9$ .

$\frac{5 \cdot 9}{324} - \frac{19}{324}$

Schritt 10.2.3.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 \cdot 9 - 19}{324}$

Schritt 10.2.3.27

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.27.1

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$\frac{45 - 19}{324}$

Schritt 10.2.3.27.2

Subtrahiere $19$ von $45$ .

$\frac{26}{324}$

Schritt 10.2.3.28

Kürze den gemeinsamen Teiler von $26$ und $324$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.28.1

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$\frac{2 (13)}{324}$

Schritt 10.2.3.28.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.28.2.1

Faktorisiere $2$ aus $324$ heraus.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Schritt 10.2.3.28.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 162}$

Schritt 10.2.3.28.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{13}{162}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{13}{162}$

Dezimalform:

$0.08024691 \dots$

Schritt 12