Analysis Beispiele

$\int_{4}^{5} \frac{5}{{(5 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{4}^{5} \frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 5 x + 2$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 5 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $5 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 5 x + 2$ ein.

$u_{lower} = 5 \cdot 4 + 2$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$u_{lower} = 20 + 2$

Schritt 2.3.2

Addiere $20$ und $2$ .

$u_{lower} = 22$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 5 x + 2$ ein.

$u_{upper} = 5 \cdot 5 + 2$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$u_{upper} = 25 + 2$

Schritt 2.5.2

Addiere $25$ und $2$ .

$u_{upper} = 27$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 22$

$u_{upper} = 27$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$5 \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{5} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$5 \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Schritt 3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$5 \int_{22}^{27} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{5} \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$\frac{5}{5} \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{5} \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $\int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$ mit $1$ .

$\int_{22}^{27} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{22}^{27} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{22}^{27} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{22}^{27} u^{- 2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{22}^{27}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $- u^{- 1}$ bei $27$ und $22$ .

$(- 27^{- 1}) + 22^{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{27} + 22^{- 1}$

Schritt 7.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{27} + \frac{1}{22}$

Schritt 7.2.3

Um $- \frac{1}{27}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{22}{22}$ .

$- \frac{1}{27} \cdot \frac{22}{22} + \frac{1}{22}$

Schritt 7.2.4

Um $\frac{1}{22}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{1}{27} \cdot \frac{22}{22} + \frac{1}{22} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 7.2.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $594$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{27}$ mit $\frac{22}{22}$ .

$- \frac{22}{27 \cdot 22} + \frac{1}{22} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $27$ mit $22$ .

$- \frac{22}{594} + \frac{1}{22} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 7.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{22}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{22}{594} + \frac{27}{22 \cdot 27}$

Schritt 7.2.5.4

Mutltipliziere $22$ mit $27$ .

$- \frac{22}{594} + \frac{27}{594}$

Schritt 7.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 22 + 27}{594}$

Schritt 7.2.7

Addiere $- 22$ und $27$ .

$\frac{5}{594}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{594}$

Dezimalform:

$0.0\overline{084175}$

Schritt 9