Analysis Beispiele

$\int 4 x \sqrt{x - 1} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x \sqrt{x - 1} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt{x - 1}$ .

$4 (x (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 3

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (x \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x))$

Schritt 5

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Schritt 7

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Schritt 7.2

Schreibe $4 (\frac{x (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ als $4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$ um.

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Um $\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 7.3.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$4 (\frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

Schritt 7.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{2 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$4 \frac{10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 7.3.5

Kombiniere $4$ und $\frac{10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Schritt 9

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (10 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 4 (- 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$\frac{40 (x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) + 4 (- 4 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})}{15} + C$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{40 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 16 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{15} (40 x {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 16 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$