Analysis Beispiele

$\int_{- 5}^{0} \frac{w^{2}}{2} + 2 w - 2 d w$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 5}^{0} \frac{w^{2}}{2} d w + \int_{- 5}^{0} 2 w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $w$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 5}^{0} w^{2} d w + \int_{- 5}^{0} 2 w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $w^{2}$ nach $w$ gleich $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + \int_{- 5}^{0} 2 w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $w$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 \int_{- 5}^{0} w d w + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $w$ nach $w$ gleich $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 (\frac{1}{2} w^{2}]_{- 5}^{0}) + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $w^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 (\frac{w^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + \int_{- 5}^{0} - 2 d w$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} w^{3}]_{- 5}^{0} + 2 (\frac{w^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + - 2 w]_{- 5}^{0}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{3} w^{3}$ bei $0$ und $- 5$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{w^{2}}{2}]_{- 5}^{0}) + - 2 w]_{- 5}^{0}$

Schritt 8.2

Berechne $\frac{w^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + - 2 w]_{- 5}^{0}$

Schritt 8.3

Berechne $- 2 w$ bei $0$ und $- 5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{3} {(- 5)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.3

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot - 125) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.4

Mutltipliziere $- 125$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (0 + 125 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.5

Kombiniere $125$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (0 + \frac{125}{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.6

Addiere $0$ und $\frac{125}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{125}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{125}{3}$ .

$\frac{125}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{125}{6} + 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{125}{6} + 2 (0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.11

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{125}{6} + 2 (0 - \frac{25}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.12

Subtrahiere $\frac{25}{2}$ von $0$ .

$\frac{125}{6} + 2 (- \frac{25}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{125}{6} - 2 (\frac{25}{2}) + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.14

Kombiniere $- 2$ und $\frac{25}{2}$ .

$\frac{125}{6} + \frac{- 2 \cdot 25}{2} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $25$ .

$\frac{125}{6} + \frac{- 50}{2} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 50$ und $2$ .

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Schritt 8.4.16.1

Faktorisiere $2$ aus $- 50$ heraus.

$\frac{125}{6} + \frac{2 \cdot - 25}{2} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{125}{6} + \frac{2 \cdot - 25}{2 (1)} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{125}{6} + \frac{2 \cdot - 25}{2 \cdot 1} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{125}{6} + \frac{- 25}{1} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.16.2.4

Dividiere $- 25$ durch $1$ .

$\frac{125}{6} - 25 + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.17

Um $- 25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{125}{6} - 25 \cdot \frac{6}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.18

Kombiniere $- 25$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{125}{6} + \frac{- 25 \cdot 6}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{125 - 25 \cdot 6}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.20.1

Mutltipliziere $- 25$ mit $6$ .

$\frac{125 - 150}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.20.2

Subtrahiere $150$ von $125$ .

$\frac{- 25}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{25}{6} + (- 2 \cdot 0) + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.22

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$- \frac{25}{6} + 0 + 2 \cdot - 5$

Schritt 8.4.23

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- \frac{25}{6} + 0 - 10$

Schritt 8.4.24

Subtrahiere $10$ von $0$ .

$- \frac{25}{6} - 10$

Schritt 8.4.25

Um $- 10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{25}{6} - 10 \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 8.4.26

Kombiniere $- 10$ und $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{25}{6} + \frac{- 10 \cdot 6}{6}$

Schritt 8.4.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 25 - 10 \cdot 6}{6}$

Schritt 8.4.28

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.28.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $6$ .

$\frac{- 25 - 60}{6}$

Schritt 8.4.28.2

Subtrahiere $60$ von $- 25$ .

$\frac{- 85}{6}$

Schritt 8.4.29

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{85}{6}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{85}{6}$

Dezimalform:

$- 14.1\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 14 \frac{1}{6}$

Schritt 10