Analysis Beispiele

$\int 4 \tan^{3} (x) d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \tan^{3} (x) d x$

Schritt 2

Faktorisiere $\tan^{2} (x)$ aus.

$4 \int \tan^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) d x$

Schritt 4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \int - 1 \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\int - 1 \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (- \int \tan (x) d x + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Schritt 7

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x)$

Schritt 8

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 8.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int u d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$4 (- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \frac{u^{2}}{2} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} u^{2}) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (x)) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec^{2} (x)$ .

$4 (- \ln (| \sec (x) |) + \frac{\sec^{2} (x)}{2}) + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- \ln (| \sec (x) |)) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 4 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Schritt 12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 (2) \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Schritt 12.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \cdot 2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Schritt 12.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \ln (| \sec (x) |) + 2 \sec^{2} (x) + C$