Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 12 x + 2$

Schritt 1

Stelle $y$ als Funktion von $x$ auf.

$f (x) = x^{3} - 12 x + 2$

Schritt 2

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 12 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 12 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $3 x^{2} - 12$ und $0$ .

$3 x^{2} - 12$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 12 = 0$ .

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Schritt 3.1

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 12$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 12$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 12$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $12$ durch $3$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 4

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 12 x + 2$ bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {(2)}^{3} - 12 \cdot 2 + 2$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = 8 - 12 \cdot 2 + 2$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$f (2) = 8 - 24 + 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $24$ von $8$ .

$f (2) = - 16 + 2$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 16$ und $2$ .

$f (2) = - 14$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 14$ .

$- 14$

Schritt 5

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = x^{3} - 12 x + 2$ bei $x = - 2$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 12 \cdot - 2 + 2$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 24 + 2$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 8$ und $24$ .

$f (- 2) = 16 + 2$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $16$ und $2$ .

$f (- 2) = 18$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $18$ .

$18$

Schritt 6

Die horizontalen Tangenten der Funktion $f (x) = x^{3} - 12 x + 2$ sind $y = - 14, y = 18$ .

$y = - 14, y = 18$

Schritt 7