Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{4}}{1 + x} d x$

Schritt 1

Stelle $1$ und $x$ um.

$\int \frac{x^{4}}{x + 1} d x$

Schritt 2

Dividiere $x^{4}$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 2.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 2.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 2.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Schritt 2.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Schritt 2.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Schritt 2.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Schritt 2.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

Schritt 2.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

Schritt 2.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

Schritt 2.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x - 1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

Schritt 2.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

Schritt 2.21

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x^{3} - x^{2} + x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 10

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 10.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 10.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 10.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$