Analysis Beispiele

$\int (x + 5) e^{{(x + 5)}^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x + 5$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x + 5$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 2

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u_{2}} + C$

Schritt 7

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Schritt 7.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 5$ .

$\frac{1}{2} e^{{(x + 5)}^{2}} + C$