Analysis Beispiele

$\int \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2}} d x$

Schritt 1.1.3

Multipliziere mit $1$ .

$\int \sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ heraus.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1} d x$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2})} d x$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\int \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})} d x$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\int \sqrt{x^{2} {(x - 1)}^{2}} d x$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ als ${(x (x - 1))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(x (x - 1))}^{2}} d x$

Schritt 1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int x (x - 1) d x$

Schritt 1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Schritt 1.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Schritt 1.8

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\int x^{2} - x d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$