Analysis Beispiele

$\int \frac{8}{y^{3} - 4 y} d y$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \frac{1}{y^{3} - 4 y} d y$

Schritt 2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3} - 4 y$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{1}{y \cdot y^{2} - 4 y}$

Schritt 2.1.1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{1}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 4}$

Schritt 2.1.1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y^{2} + y \cdot - 4$ heraus.

$\frac{1}{y (y^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{y (y^{2} - 2^{2})}$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 2$ .

$\frac{1}{y ((y + 2) (y - 2))}$

Schritt 2.1.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{y (y + 2) (y - 2)}$

Schritt 2.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2}$

Schritt 2.1.3

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$

Schritt 2.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $y (y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (y (y + 2) (y - 2))}{y (y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 ((y + 2) (y - 2))}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (y - 2)}{y - 2} = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (y (y + 2) (y - 2))}{y} + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.1.2

Dividiere $A ((y + 2) (y - 2))$ durch $1$ .

$1 = A ((y + 2) (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.2

Multipliziere $(y + 2) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A (y (y - 2) + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2)) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A (y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 2.1.8.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y \cdot - 2$ und $2 y$ neu an.

$1 = A (y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.3.2

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$1 = A (y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.3.3

Addiere $y \cdot y$ und $0$ .

$1 = A (y \cdot y + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.8.4.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1 = A (y^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$1 = A (y^{2} - 4) + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A y^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.6

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A y^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 2.1.8.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A y^{2} - 4 A + \frac{B (y (y + 2) (y - 2))}{y + 2} + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.7.2

Dividiere $(B) (y (y - 2))$ durch $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + (B) (y (y - 2)) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.8

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y \cdot y + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.9

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} + y \cdot - 2) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.10

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B (y^{2} - 2 \cdot y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.11

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} + B (- 2 y) + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{(C) (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 2$ .

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Schritt 2.1.8.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + \frac{C (y (y + 2) (y - 2))}{y - 2}$

Schritt 2.1.8.13.2

Dividiere $(C) (y (y + 2))$ durch $1$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + (C) (y (y + 2))$

Schritt 2.1.8.14

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y \cdot y + y \cdot 2)$

Schritt 2.1.8.15

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + y \cdot 2)$

Schritt 2.1.8.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C (y^{2} + 2 \cdot y)$

Schritt 2.1.8.17

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + C (2 y)$

Schritt 2.1.8.18

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 B y + C y^{2} + 2 C y$

Schritt 2.1.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.9.1

Bewege $B$ .

$1 = A y^{2} - 4 A + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y$

Schritt 2.1.9.2

Bewege $- 4 A$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} - 2 y B + C y^{2} + 2 C y - 4 A$

Schritt 2.1.9.3

Bewege $- 2 y B$ .

$1 = A y^{2} + B y^{2} + C y^{2} - 2 y B + 2 C y - 4 A$

Schritt 2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $y^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B + C$

Schritt 2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $y$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $y$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 4 A$

Schritt 2.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$1 = - 4 A$

Schritt 2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.3.1

Löse in $1 = - 4 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 A = 1$ um.

$- 4 A = 1$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 A = 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 A = 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B + C$

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- \frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B + C$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$0 = - \frac{1}{4} + B + C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.3.3

Löse in $0 = - \frac{1}{4} + B + C$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{4} + B + C = 0$ um.

$- \frac{1}{4} + B + C = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.2.1

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B + C = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.3.3.2.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 2 B + 2 C$

Schritt 2.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{4} - C$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $0 = - 2 B + 2 C$ durch $\frac{1}{4} - C$ .

$0 = - 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.1

Vereinfache $- 2 (\frac{1}{4} - C) + 2 C$ .

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Schritt 2.3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = - 2 (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$0 = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.4.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.4.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.4.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) - 2 (- C) + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.4.2.1.1.4

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 2 C + 2 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.4.2.1.2

Addiere $2 C$ und $2 C$ .

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{2} + 4 C$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.5

Löse in $0 = - \frac{1}{2} + 4 C$ nach $C$ auf.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{2} + 4 C = 0$ um.

$- \frac{1}{2} + 4 C = 0$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.5.2

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 C = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 C = \frac{1}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 C = \frac{1}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 C}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.5.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.5.3.3.2

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$C = \frac{1}{2 \cdot 4}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.5.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

$C = \frac{1}{8}$

$B = \frac{1}{4} - C$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $\frac{1}{8}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.6.1

Ersetze alle $C$ in $B = \frac{1}{4} - C$ durch $\frac{1}{8}$ .

$B = \frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.6.2.1

Vereinfache $\frac{1}{4} - (\frac{1}{8})$ .

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Schritt 2.3.6.2.1.1

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.6.2.1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.6.2.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$B = \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.6.2.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.6.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{2 - 1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.6.2.1.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{8}$

$C = \frac{1}{8}$

$A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$B = \frac{1}{8}, C = \frac{1}{8}, A = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 2} + \frac{C}{y - 2}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{\frac{1}{4}}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y \cdot 4} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Schritt 2.5.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{\frac{1}{8}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Schritt 2.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{1}{y + 2}$ .

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{8}}{y - 2}$

Schritt 2.5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{y - 2}$

Schritt 2.5.7

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{1}{y - 2}$ .

$8 \int - \frac{1}{4 y} + \frac{1}{8 (y + 2)} + \frac{1}{8 (y - 2)} d y$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$8 (\int - \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$8 (- \int \frac{1}{4 y} d y + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$8 (- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{y} d y) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \int \frac{1}{8 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y + 2} d y + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Schritt 8

Sei $u_{1} = y + 2$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{1} = y + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 8.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{8 (y - 2)} d y)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{y - 2} d y)$

Schritt 11

Sei $u_{2} = y - 2$ . Dann ist $d u_{2} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = y - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Schritt 11.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Schritt 11.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 11.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$8 (- \frac{1}{4} (\ln (| y |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Schritt 13

Vereinfache.

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y + 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y - 2$ .

$8 (- \frac{1}{4} \ln (| y |) + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\ln (| y |)$ und $\frac{1}{4}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{1}{8} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\ln (| y + 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{1}{8} \ln (| y - 2 |)) + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\ln (| y - 2 |)$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |)}{8} + \frac{\ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Schritt 15.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 2 |)}{8}) + C$

Schritt 15.3

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y + 2 | | y - 2 |)}{8}) + C$

Schritt 15.4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| (y + 2) (y - 2) |)}{8}) + C$

Schritt 15.5

Multipliziere $(y + 2) (y - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 15.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y (y - 2) + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Schritt 15.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 (y - 2) |)}{8}) + C$

Schritt 15.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Schritt 15.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y \cdot y + y \cdot - 2 + 2 y + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 15.6.1

Ordne die Faktoren in den Termen $y \cdot - 2$ und $2 y$ neu an.

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y - 2 y + 2 y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Schritt 15.6.2

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 0 + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Schritt 15.6.3

Addiere $y \cdot y$ und $0$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y \cdot y + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Schritt 15.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.7.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} + 2 \cdot - 2 |)}{8}) + C$

Schritt 15.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$8 (\frac{- \ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Schritt 15.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Schritt 15.9

Um $- \frac{\ln (| y |)}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |)}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Schritt 15.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 15.10.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (| y |)}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Schritt 15.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 (- \frac{\ln (| y |) \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| y^{2} - 4 |)}{8}) + C$

Schritt 15.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Schritt 15.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 15.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |)}{8} + C$

Schritt 15.12.2

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$

Schritt 15.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \ln (| y |) + \ln (| y^{2} - 4 |) + C$