Analysis Beispiele

$2 p k \int_{0}^{1} (5 x - x^{2}) x^{3} d x$

Schritt 1

Multipliziere $(5 x - x^{2}) x^{3}$ aus.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x \cdot x^{3} - x^{2} x^{3} d x$

Schritt 1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 p k \int_{0}^{1} 5 (x^{1} x^{3}) - x^{2} x^{3} d x$

Schritt 1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{1 + 3} - x^{2} x^{3} d x$

Schritt 1.4

Addiere $1$ und $3$ .

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - x^{2} x^{3} d x$

Schritt 1.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - (x^{2} x^{3}) d x$

Schritt 1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - x^{2 + 3} d x$

Schritt 1.7

Addiere $2$ und $3$ .

$2 p k \int_{0}^{1} 5 x^{4} - x^{5} d x$

Schritt 1.8

Stelle $5 x^{4}$ und $- x^{5}$ um.

$2 p k \int_{0}^{1} - x^{5} + 5 x^{4} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 p k (\int_{0}^{1} - x^{5} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 p k (- \int_{0}^{1} x^{5} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{4} d x)$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + 5 \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$2 p k (- (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{x^{6}}{6}$ bei $1$ und $0$ .

$2 p k (- ((\frac{1^{6}}{6}) - \frac{0^{6}}{6}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $1$ und $0$ .

$2 p k (- (\frac{1^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{0^{6}}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{0}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $6$ .

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Schritt 8.2.3.3.1

Faktorisiere $6$ aus $0$ heraus.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{6 (0)}{6}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 p k (- (\frac{1}{6} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} - 0) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 p k (- (\frac{1}{6} + 0) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.5

Addiere $\frac{1}{6}$ und $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Schritt 8.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 8.2.3.8.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Schritt 8.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Schritt 8.2.3.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} - 0))$

Schritt 8.2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5} + 0))$

Schritt 8.2.3.10

Addiere $\frac{1}{5}$ und $0$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + 5 (\frac{1}{5}))$

Schritt 8.2.3.11

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$2 p k (- \frac{1}{6} + \frac{5}{5})$

Schritt 8.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.2.3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 p k (- \frac{1}{6} + \frac{5}{5})$

Schritt 8.2.3.12.2

Forme den Ausdruck um.

$2 p k (- \frac{1}{6} + 1)$

Schritt 8.2.3.13

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 p k (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Schritt 8.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 p k \frac{- 1 + 6}{6}$

Schritt 8.2.3.15

Addiere $- 1$ und $6$ .

$2 p k \frac{5}{6}$

Schritt 8.2.3.16

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{6}$ .

$p k \frac{2 \cdot 5}{6}$

Schritt 8.2.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$p k \frac{10}{6}$

Schritt 8.2.3.18

Kombiniere $p$ und $\frac{10}{6}$ .

$k \frac{p \cdot 10}{6}$

Schritt 8.2.3.19

Kombiniere $k$ und $\frac{p \cdot 10}{6}$ .

$\frac{k (p \cdot 10)}{6}$

Schritt 8.2.3.20

Bringe $10$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{k (10 \cdot p)}{6}$

Schritt 8.2.3.21

Bringe $10$ auf die linke Seite von $k$ .

$\frac{10 \cdot k p}{6}$

Schritt 8.2.3.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $6$ .

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Schritt 8.2.3.22.1

Faktorisiere $2$ aus $10 k p$ heraus.

$\frac{2 (5 k p)}{6}$

Schritt 8.2.3.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.3.22.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (5 k p)}{2 (3)}$

Schritt 8.2.3.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 k p)}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2.3.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 k p}{3}$

$\frac{5}{3} k p$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $k$ .

$\frac{5 k}{3} p$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{5 k}{3}$ und $p$ .

$\frac{5 k p}{3}$

Schritt 10