Analysis Beispiele

$9800 \int_{- 5}^{0} (- y) (2 \sqrt{25 - y^{2}}) d y$

Schritt 1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$9800 \int_{- 5}^{0} - 2 y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Schritt 2

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$9800 (- 2 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y)$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 2$ mit $9800$ .

$- 19600 \int_{- 5}^{0} y \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Schritt 4

Sei $u = 25 - y^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 y d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 25 - y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $25 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [25 - y^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [25] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Da $25$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 y$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $2 y$ von $0$ .

$- 2 y$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = 25 - y^{2}$ ein.

$u_{lower} = 25 - {(- 5)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$u_{lower} = 25 - 1 \cdot 25$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$u_{lower} = 25 - 25$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = 25 - y^{2}$ ein.

$u_{upper} = 25 - 0^{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{upper} = 25 - 0$

Schritt 4.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{upper} = 25 + 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $25$ und $0$ .

$u_{upper} = 25$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 19600 \int_{0}^{25} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 5.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 19600 \int_{0}^{25} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 19600 (- \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 19600$ .

$19600 \int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$19600 (\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u)$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $19600$ .

$\frac{19600}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $19600$ und $2$ .

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $19600$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9800}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Schritt 9.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9800}{2 (1)} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Schritt 9.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 9800}{2 \cdot 1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Schritt 9.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9800}{1} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Schritt 9.1.2.2.4

Dividiere $9800$ durch $1$ .

$9800 \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

Schritt 9.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$9800 \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25})$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$9800 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{25})$

Schritt 12

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 12.1

Berechne $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $25$ und $0$ .

$9800 ((\frac{2 \cdot 25^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$9800 (\frac{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 12.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 12.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 12.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$9800 (\frac{2 \cdot 5^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 12.2.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$9800 (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 12.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $125$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 12.2.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 12.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 12.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 12.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Schritt 12.2.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Schritt 12.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 12.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 12.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 12.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 12.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 12.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9800 (\frac{250}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 12.2.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$9800 (\frac{250}{3} - 0)$

Schritt 12.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$9800 (\frac{250}{3} + 0)$

Schritt 12.2.13

Addiere $\frac{250}{3}$ und $0$ .

$9800 (\frac{250}{3})$

Schritt 12.2.14

Kombiniere $9800$ und $\frac{250}{3}$ .

$\frac{9800 \cdot 250}{3}$

Schritt 12.2.15

Mutltipliziere $9800$ mit $250$ .

$\frac{2450000}{3}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2450000}{3}$

Dezimalform:

$816666.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$816666 \frac{2}{3}$

Schritt 14