Analysis Beispiele

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} {(6 - y^{2})}^{2} d y$

Schritt 1

Multipliziere ${(6 - y^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(6 - y^{2})}^{2}$ als $(6 - y^{2}) (6 - y^{2})$ um.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} (6 - y^{2}) (6 - y^{2}) d y$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 (6 - y^{2}) - y^{2} (6 - y^{2}) d y$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 (- y^{2}) - y^{2} (6 - y^{2}) d y$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 6 - y^{2} (- y^{2}) d y$

Schritt 1.5

Bewege $y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - y^{2} (- y^{2}) d y$

Schritt 1.6

Bewege $y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 6 \cdot 6 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 + 6 \cdot - 1 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 1 \cdot 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2} d y$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + 1 y^{2} y^{2} d y$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Schritt 1.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

Schritt 1.13

Addiere $2$ und $2$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 6 y^{2} - 6 y^{2} + y^{4} d y$

Schritt 1.14

Subtrahiere $6 y^{2}$ von $- 6 y^{2}$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 - 12 y^{2} + y^{4} d y$

Schritt 1.15

Stelle $- 12 y^{2}$ und $y^{4}$ um.

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 + y^{4} - 12 y^{2} d y$

Schritt 1.16

Bewege $36$ .

$p \int_{0}^{\sqrt{6}} y^{4} - 12 y^{2} + 36 d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$p (\int_{0}^{\sqrt{6}} y^{4} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{4}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$p (\frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{\sqrt{6}} + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $y^{5}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} + \int_{0}^{\sqrt{6}} - 12 y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Schritt 5

Da $- 12$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 12$ aus dem Integral.

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 \int_{0}^{\sqrt{6}} y^{2} d y + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + \int_{0}^{\sqrt{6}} 36 d y)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$p (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}) + 36 y]_{0}^{\sqrt{6}})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{\sqrt{6}}$ und $36 y]_{0}^{\sqrt{6}}$ .

$p (\frac{y^{5}}{5} + 36 y]_{0}^{\sqrt{6}} - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}))$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{y^{5}}{5} + 36 y$ bei $\sqrt{6}$ und $0$ .

$p ((\frac{{\sqrt{6}}^{5}}{5} + 36 \sqrt{6}) - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{6}}))$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $\sqrt{6}$ und $0$ .

$p ((\frac{{\sqrt{6}}^{5}}{5} + 36 \sqrt{6}) - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Schreibe ${\sqrt{6}}^{5}$ als $\sqrt{6^{5}}$ um.

$p (\frac{\sqrt{6^{5}}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.2

Potenziere $6$ mit $5$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0^{5}}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 9.2.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 (0)}{5} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (\frac{0}{1} + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (0 + 36 \cdot 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.5

Mutltipliziere $36$ mit $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - (0 + 0) - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 0 - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + 0 - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8

Addiere $\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6}$ und $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.9

Schreibe ${\sqrt{6}}^{3}$ als $\sqrt{6^{3}}$ um.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{6^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.10

Potenziere $6$ mit $3$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0}{3}))$

Schritt 9.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Schritt 9.2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{0}{1}))$

Schritt 9.2.3.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} - 0))$

Schritt 9.2.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 (\frac{\sqrt{216}}{3} + 0))$

Schritt 9.2.3.14

Addiere $\frac{\sqrt{216}}{3}$ und $0$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 12 \frac{\sqrt{216}}{3})$

Schritt 9.2.3.15

Kombiniere $- 12$ und $\frac{\sqrt{216}}{3}$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{- 12 \sqrt{216}}{3})$

Schritt 9.2.3.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.16.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 \sqrt{216}$ heraus.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3})$

Schritt 9.2.3.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3 (1)})$

Schritt 9.2.3.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{3 (- 4 \sqrt{216})}{3 \cdot 1})$

Schritt 9.2.3.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} + \frac{- 4 \sqrt{216}}{1})$

Schritt 9.2.3.16.2.4

Dividiere $- 4 \sqrt{216}$ durch $1$ .

$p (\frac{\sqrt{7776}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $7776$ als $36^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $1296$ aus $7776$ heraus.

$p (\frac{\sqrt{1296 (6)}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Schritt 9.3.1.2

Schreibe $1296$ als $36^{2}$ um.

$p (\frac{\sqrt{36^{2} \cdot 6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Schritt 9.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{216})$

Schritt 9.3.3

Schreibe $216$ als $6^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{36 (6)})$

Schritt 9.3.3.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6^{2} \cdot 6})$

Schritt 9.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Schritt 9.3.5

Um $36 \sqrt{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + 36 \sqrt{6} \cdot \frac{5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Schritt 9.3.6

Kombiniere $36 \sqrt{6}$ und $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6}}{5} + \frac{36 \sqrt{6} \cdot 5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Schritt 9.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (\frac{36 \sqrt{6} + 36 \sqrt{6} \cdot 5}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Schritt 9.3.8

Mutltipliziere $5$ mit $36$ .

$p (\frac{36 \sqrt{6} + 180 \sqrt{6}}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Schritt 9.3.9

Addiere $36 \sqrt{6}$ und $180 \sqrt{6}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 4 (6 \sqrt{6}))$

Schritt 9.3.10

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 24 \sqrt{6})$

Schritt 9.3.11

Um $- 24 \sqrt{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} - 24 \sqrt{6} \cdot \frac{5}{5})$

Schritt 9.3.12

Kombiniere $- 24 \sqrt{6}$ und $\frac{5}{5}$ .

$p (\frac{216 \sqrt{6}}{5} + \frac{- 24 \sqrt{6} \cdot 5}{5})$

Schritt 9.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p \frac{216 \sqrt{6} - 24 \sqrt{6} \cdot 5}{5}$

Schritt 9.3.14

Mutltipliziere $5$ mit $- 24$ .

$p \frac{216 \sqrt{6} - 120 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 9.3.15

Subtrahiere $120 \sqrt{6}$ von $216 \sqrt{6}$ .

$p \frac{96 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 9.3.16

Kombiniere $p$ und $\frac{96 \sqrt{6}}{5}$ .

$\frac{p (96 \sqrt{6})}{5}$

Schritt 9.3.17

Bringe $96$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{96 p \sqrt{6}}{5}$

Schritt 9.4

Stelle die Terme um.

$\frac{96 \sqrt{6}}{5} p$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{96 \sqrt{6}}{5}$ und $p$ .

$\frac{96 \sqrt{6} p}{5}$

Schritt 11