Analysis Beispiele

$\int 9 x \sqrt{- x^{2} + 4} d x$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int x \sqrt{- x^{2} + 4} d x$

Schritt 2

Sei $u = - x^{2} + 4$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - x^{2} + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 4]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 x + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$- 2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$9 \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$9 (- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 9 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 9$ .

$\frac{- 9}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 7.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{9}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{9}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $- \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- \frac{18}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{18}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $6$ .

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Schritt 9.2.4.1

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 3}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$- \frac{6 \cdot 3}{6 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 3 u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2} + 4$ .

$- 3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C$