Analysis Beispiele

$\int \cos (3 y) - 2 x d x \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1

Berechne $\int \cos (3 y) - 2 x d x$ .

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Schritt 1.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(\int \cos (3 y) d x + \int - 2 x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$(\cos (3 y) x + C + \int - 2 x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$(\cos (3 y) x + C - 2 \int x d x) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(\cos (3 y) x + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache.

$(\cos (3 y) x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1.5.2

Vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$(\cos (3 y) x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\cos (3 y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(\cos (3 y) x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 1.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) \int \sin (2 x) + 2 yd y d x$

Schritt 2

Berechne $\int \sin (2 x) + 2 yd y d x$ .

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Schritt 2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \sin (2 x) d x + \int 2 yd y d x)$

Schritt 2.2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int 2 yd y d x)$

Schritt 2.3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\int \frac{\sin (u)}{2} d u + \int 2 yd y d x)$

Schritt 2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u + \int 2 yd y d x)$

Schritt 2.5

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C) + \int 2 yd y d x)$

Schritt 2.6

Wende die Konstantenregel an.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (\frac{1}{2} (- \cos (u) + C) + 2 yd y x + C)$

Schritt 2.7

Vereinfache.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{\cos (u)}{2} + 2 yd y x + C)$

Schritt 2.8

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{\cos (2 x)}{2} + 2 yd y x + C)$

Schritt 2.9

Stelle die Terme um.

$(\cos (3 y) x - x^{2} + C) (- \frac{1}{2} \cos (2 x) + 2 yd y x + C)$

Schritt 3

Vereinfache.

$(\cos (3 y) x - x^{2}) (- \frac{1}{2} \cos (2 x) + 2 yd y x) + C$