Analysis Beispiele

$\int y {(y^{4} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $y^{4}$ als ${(y^{2})}^{2}$ um.

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Schritt 1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot y$

Schritt 1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = y^{2}$ und $b = y$ .

$\int y {({(y^{2} - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Schritt 1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\int y {(y^{2} - y)}^{1} d y$

Schritt 1.4

Vereinfache.

$\int y (y^{2} - y) d y$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int y \cdot y^{2} + y (- y) d y$

Schritt 2.2

Stelle $y$ und $- 1$ um.

$\int y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y d y$

Schritt 2.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y d y$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{1 + 2} - 1 y \cdot y d y$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\int y^{3} - 1 y \cdot y d y$

Schritt 2.6

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int y^{3} - (y \cdot y) d y$

Schritt 2.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y) d y$

Schritt 2.8

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y^{1}) d y$

Schritt 2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{3} - y^{1 + 1} d y$

Schritt 2.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int - y^{2} d y$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C - \int y^{2} d y$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C$