Analysis Beispiele

$\int x \sqrt{a x^{2} + b} d x$

Schritt 1

Sei $u = a x^{2} + b$ . Dann ist $d u = 2 \cdot x a d x$ , folglich $\frac{1}{2 a} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = a x^{2} + b$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $a x^{2} + b$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2} + b]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{2} + b$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{2}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b]$

Schritt 1.1.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 a x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2 a x$ und $0$ .

$2 a x$

Schritt 1.1.5

Stelle $2 a$ und $x$ um.

$x (2 a)$

Schritt 1.1.6

Stelle $x$ und $2$ um.

$2 \cdot x a$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2 a} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2 a}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{2 a} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2 a}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2 a}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2 a} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2 a} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2 a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{2 a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{2 a} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 a}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 a \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2}{6 a} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6 a} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 a$ heraus.

$\frac{2 (1)}{2 (3 a)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (3 a)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 a} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.4

Kombiniere $\frac{1}{3 a}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $a x^{2} + b$ .

$\frac{{(a x^{2} + b)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + C$