Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} \sqrt{u} d u$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{5}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $5$ und $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Schritt 3.2.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + 0$

Schritt 3.2.8

Addiere $\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$ und $0$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Dezimalform:

$7.45355992 \dots$

Schritt 5