Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 4 x - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $1$ .

$4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 9.2

Berechne $- x^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (2 - \frac{1}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{4 - 1}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.7.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$4 (\frac{3}{2}) - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.8

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 9.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.10.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 - 2 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.11

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - 2 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 9.3.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 - 2 (- \frac{1}{2} + 1)$

Schritt 9.3.13

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$6 - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 9.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 - 2 \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 9.3.15

Addiere $- 1$ und $2$ .

$6 - 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 9.3.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 + \frac{- 2}{2}$

Schritt 9.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 9.3.17.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$6 + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Schritt 9.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 9.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 + \frac{- 1}{1}$

Schritt 9.3.17.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$6 - 1$

Schritt 9.3.18

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$5$

Schritt 10