Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{2} p {(\sqrt{4 - x^{2}})}^{2} d x$

Schritt 1

Schreibe ${(\sqrt{4 - x^{2}})}^{2}$ als $4 - x^{2}$ um.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x^{2}}$ als ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{- 2}^{2} p {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Schritt 1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{- 2}^{2} p {(4 - x^{2})}^{1} d x$

Schritt 1.5

Vereinfache.

$\int_{- 2}^{2} p (4 - x^{2}) d x$

Schritt 2

Da $p$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $p$ aus dem Integral.

$p \int_{- 2}^{2} 4 - x^{2} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$p (\int_{- 2}^{2} 4 d x + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$p (4 x]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - x^{2} d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$p (4 x]_{- 2}^{2} - \int_{- 2}^{2} x^{2} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$p (4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$p (4 x]_{- 2}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $4 x$ bei $2$ und $- 2$ .

$p ((4 \cdot 2) - 4 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $- 2$ .

$p (4 \cdot 2 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$p (8 - 4 \cdot - 2 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$p (8 + 8 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.3

Addiere $8$ und $8$ .

$p (16 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Schritt 7.2.3.5

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}))$

Schritt 7.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p (16 - (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}))$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})))$

Schritt 7.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $1$ .

$p (16 - (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Schritt 7.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p (16 - \frac{8 + 8}{3})$

Schritt 7.2.3.10

Addiere $8$ und $8$ .

$p (16 - \frac{16}{3})$

Schritt 7.2.3.11

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$p (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

Schritt 7.2.3.12

Kombiniere $16$ und $\frac{3}{3}$ .

$p (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

Schritt 7.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$p \frac{16 \cdot 3 - 16}{3}$

Schritt 7.2.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.14.1

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$p \frac{48 - 16}{3}$

Schritt 7.2.3.14.2

Subtrahiere $16$ von $48$ .

$p \frac{32}{3}$

Schritt 7.2.3.15

Kombiniere $p$ und $\frac{32}{3}$ .

$\frac{p \cdot 32}{3}$

Schritt 7.2.3.16

Bringe $32$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{32 p}{3}$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$\frac{32}{3} p$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{32}{3}$ und $p$ .

$\frac{32 p}{3}$

Schritt 9