Analysis Beispiele

$\int_{- 2}^{1} \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{- 2}^{1} {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 2}^{1} x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int_{- 2}^{1} x^{- 4} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{- 2}^{1}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ bei $1$ und $- 2$ .

$(- \frac{1}{3} \cdot 1^{- 3}) + \frac{1}{3} {(- 2)}^{- 3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} {(- 2)}^{- 3}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} {(- 2)}^{- 3}$

Schritt 3.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(- 2)}^{3}}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 8}$

Schritt 3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{8})$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 8}$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{24}$

Schritt 3.2.8

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{24}$

Schritt 3.2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $24$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{8}{3 \cdot 8} - \frac{1}{24}$

Schritt 3.2.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$- \frac{8}{24} - \frac{1}{24}$

Schritt 3.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 8 - 1}{24}$

Schritt 3.2.11

Subtrahiere $1$ von $- 8$ .

$\frac{- 9}{24}$

Schritt 3.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $24$ .

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Schritt 3.2.12.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$\frac{3 (- 3)}{24}$

Schritt 3.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 8}$

Schritt 3.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 8}$

Schritt 3.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{8}$

Schritt 3.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{8}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3}{8}$

Dezimalform:

$- 0.375$

Schritt 5