Analysis Beispiele

$\int_{1}^{8} (1 - x) e^{- x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 1 - x$ und $d v = e^{- x}$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} - e^{- x} \cdot - 1 d x$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} 1 e^{- x} d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{1}^{8} e^{- x} d x$

Schritt 3

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 3.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$u_{upper} = - 8$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 8$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - \int_{- 1}^{- 8} - e^{u} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} - - \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + 1 \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$ mit $1$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + \int_{- 1}^{- 8} e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$(1 - x) (- e^{- x})]_{1}^{8} + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne $(1 - x) (- e^{- x})$ bei $8$ und $1$ .

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + e^{u}]_{- 1}^{- 8}$

Schritt 7.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 8$ und $- 1$ .

$((1 - 1 \cdot 8) (- e^{- 1 \cdot 8})) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$(1 - 8) (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$- 7 (- e^{- 1 \cdot 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 7 (- e^{- 8}) - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$7 e^{- 8} - (1 - 1 \cdot 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 e^{- 8} - (1 - 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$7 e^{- 8} - 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1 \cdot 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 e^{- 8} + 0 (- e^{- 1}) + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$7 e^{- 8} + 0 e^{- 1} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.10

Mutltipliziere $0$ mit $e^{- 1}$ .

$7 e^{- 8} + 0 + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.11

Addiere $7 e^{- 8}$ und $0$ .

$7 e^{- 8} + (e^{- 8}) - e^{- 1}$

Schritt 7.3.12

Addiere $7 e^{- 8}$ und $e^{- 8}$ .

$8 e^{- 8} - e^{- 1}$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{e^{8}} - e^{- 1}$

Schritt 8.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - e^{- 1}$

Schritt 8.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8}{e^{8}} - \frac{1}{e}$

Dezimalform:

$- 0.36519574 \dots$

Schritt 10