Analysis Beispiele

$\int_{0}^{225} 5 \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{0}^{225} \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$5 \int_{0}^{225} x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{225})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{225})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ bei $225$ und $0$ .

$5 ((\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Schritt 4.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

Schritt 4.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0}{4})$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{0}{4})$

Schritt 4.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 4.2.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Schritt 4.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{0}{1})$

Schritt 4.2.2.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} - 0)$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$5 (\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4} + 0)$

Schritt 4.2.2.8

Addiere $\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4}$ und $0$ .

$5 \frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4}$

Schritt 4.2.2.9

Kombiniere $5$ und $\frac{3 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{5 (3 \cdot 225^{\frac{4}{3}})}{4}$

Schritt 4.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 \cdot 225^{\frac{4}{3}}}{4}$

Schritt 4.2.2.11

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$\frac{15 \cdot {(15^{2})}^{\frac{4}{3}}}{4}$

Schritt 4.2.2.12

Multipliziere die Exponenten in ${(15^{2})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Schritt 4.2.2.12.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \cdot 15^{2 (\frac{4}{3})}}{4}$

Schritt 4.2.2.12.2

Multipliziere $2 (\frac{4}{3})$ .

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Schritt 4.2.2.12.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{15 \cdot 15^{\frac{2 \cdot 4}{3}}}{4}$

Schritt 4.2.2.12.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{15 \cdot 15^{\frac{8}{3}}}{4}$

Schritt 4.2.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15^{1 + \frac{8}{3}}}{4}$

Schritt 4.2.2.14

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{15^{\frac{3}{3} + \frac{8}{3}}}{4}$

Schritt 4.2.2.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{15^{\frac{3 + 8}{3}}}{4}$

Schritt 4.2.2.16

Addiere $3$ und $8$ .

$\frac{15^{\frac{11}{3}}}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{15^{\frac{11}{3}}}{4}$

Dezimalform:

$5131.85793376 \dots$

Schritt 6