Analysis Beispiele

$f (x) = | x + 1 |$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = | (x + h) + 1 |$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $| x + h + 1 |$ .

$| x + h + 1 |$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

$f (x) = | x + 1 |$

$f (x + h) = | x + h + 1 |$

$f (x) = | x + 1 |$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{| x + h + 1 | - (| x + 1 |)}{h}$

Schritt 4

Multipliziere $- 1$ mit $| x + 1 |$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

Schritt 5

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$

Schritt 6.2

Da $\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 7

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{h \to 0^{+}} \frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{| x + h + 1 | - | x + 1 |}{h}$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$

Schritt 8.2

Da $\frac{| x + 0 + 1 | - | x + 1 |}{0}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 9

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 10