Analysis Beispiele

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe $\tan (x + h) \cos (x + h)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sin (x + h)$ .

$\sin (x + h)$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

Schritt 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende die Summenformel für den Sinus an, um den Ausdruck zu vereinfachen. Die Formel besagt, dass $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- 1$ mit $\sin (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.2

Ziehe den Term $\sin (x)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.4

Ziehe den Term $\cos (x)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.6

Berechne den Grenzwert von $\sin (x)$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.8.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.8.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.8.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.8.1.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $0$ .

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (x) + 0 - \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.8.2.1

Addiere $\sin (x)$ und $0$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.8.2.2

Subtrahiere $\sin (x)$ von $\sin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Da $\sin (x)$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $\sin (x) \cos (h)$ nach $h$ gleich $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.2

Die Ableitung von $\cos (h)$ nach $h$ ist $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.4

Berechne $\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Da $\cos (x)$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $\cos (x) \sin (h)$ nach $h$ gleich $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.4.2

Die Ableitung von $\sin (h)$ nach $h$ ist $\cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.5

Da $- \sin (x)$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.1

Addiere $\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.6.2

Stelle die Terme um.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $\sin (x)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Schritt 6.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Schritt 6.4

Ziehe den Term $\cos (x)$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

Schritt 6.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- \sin (x) \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (x)$ .

$0 + \cos (x) \cos (0)$

Schritt 8.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$0 + \cos (x) \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$0 + \cos (x)$

Schritt 8.2

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 9