Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 75 x + 3$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 75 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 75 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 75 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 75$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 75 x$ nach $x$ gleich $- 75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} - 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 75$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 75 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 75 + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $3 x^{2} - 75$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 75$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 75$ .

$3 x^{2} - 75$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 75 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 75 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $75$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 75$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 75$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 75$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{75}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{75}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{75}{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $75$ durch $3$ .

$x^{2} = 25$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{25}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $5, - 5$ .

$5, - 5$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} - 75$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (- 6) = 3 \cdot 36 - 75$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$f' (- 6) = 108 - 75$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $75$ von $108$ .

$f' (- 6) = 33$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $33$ .

$33$

Schritt 5.3

Bei $x = - 6$ ist die Ableitung $33$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 5)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 75$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 75$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 75$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $75$ von $0$ .

$f' (0) = - 75$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 75$ .

$- 75$

Schritt 6.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 75$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 5, 5)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 5, 5)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 75$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 75$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$f' (6) = 108 - 75$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $75$ von $108$ .

$f' (6) = 33$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $33$ .

$33$

Schritt 7.3

Bei $x = 6$ ist die Ableitung $33$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(5, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(5, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 5), (5, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 5, 5)$

Schritt 9