Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[4]{x}$ , $[1, 16]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[1, 16]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt[4]{x}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 16]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} \sqrt[4]{x} d x)$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ bei $16$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} ((\frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 2^{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 7.2.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4}{5} \cdot 32 - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{4 \cdot 32}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 7.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128}{5} - \frac{4}{5})$

Schritt 7.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{128 - 4}{5})$

Schritt 7.2.10

Subtrahiere $4$ von $128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 1} (\frac{124}{5})$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$A (x) = \frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$

Schritt 9

Multipliziere $\frac{1}{15} \cdot \frac{124}{5}$ .

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $\frac{124}{5}$ .

$A (x) = \frac{124}{15 \cdot 5}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $15$ mit $5$ .

$A (x) = \frac{124}{75}$

Schritt 10