Analysis Beispiele

$x - 4 \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $x - 4 \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4 \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 2.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 2.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.12

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Schritt 3.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 3.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Schritt 3.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Schritt 3.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Schritt 3.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Schritt 3.2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Schritt 3.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Schritt 3.2.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.14

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2.16

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2.17

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2.18

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4 \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 5.1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5.1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 5.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 5.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 5.1.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 5.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 5.1.2.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.1.2.10

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.2.12

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.2.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 5.1.2.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.2.13.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Schritt 6.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ um.

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Schritt 6.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Schritt 6.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Schritt 6.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Schritt 6.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 2^{2}$

Schritt 6.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = 2^{2}$

Schritt 6.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.4.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = 4$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Schritt 7.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{\sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 7.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 4, 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{1}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 10.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2^{3}}$

Schritt 10.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 11

$x = 4$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 4$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 4$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = (4) - 4 \sqrt{4}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (4) = 4 - 4 \sqrt{2^{2}}$

Schritt 12.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (4) = 4 - 4 \cdot 2$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (4) = 4 - 8$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f (4) = - 4$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{1}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{0^{3}}$

Schritt 14.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{0}$

Schritt 14.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 16