Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 8} 4 - 3 x^{3}}{x^{3} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 4 - lim_{x \to 8} 3 x^{3}}{x^{3} - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{4 - lim_{x \to 8} 3 x^{3}}{x^{3} - 1}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 3 lim_{x \to 8} x^{3}}{x^{3} - 1}$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{x^{3} - 1}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 8^{3}}{x^{3} - 1}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 512}{x^{3} - 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $512$ .

$\frac{4 - 1536}{x^{3} - 1}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1536$ von $4$ .

$\frac{- 1532}{x^{3} - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{- 1532}{x^{3} - 1^{3}}$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{- 1532}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 1532}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Schritt 3.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 1532}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1532}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$