Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{3 x - 5}$ , $h (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ , $(f \circ h)$

Schritt 1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (h (x))$

Schritt 2

Berechne $f (\frac{x}{1 + x^{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $h$ in $f$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{3 (\frac{x}{1 + x^{2}}) - 5}$

Schritt 3

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x}{1 + x^{2}} - 5}$

Schritt 4

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x}{1 + x^{2}} - 5 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x}{1 + x^{2}} + \frac{- 5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}$

Schritt 8

Schreibe $\frac{3 x - 5 (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 \cdot 1 - 5 x^{2}}{x^{2} + 1}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 - 5 x^{2}}{x^{2} + 1}}$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{- 5 x^{2} + 3 x - 5}{x^{2} + 1}}$

Schritt 9

Schreibe $\sqrt{\frac{- 5 x^{2} + 3 x - 5}{x^{2} + 1}}$ als $\frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ um.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 11.2

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 11.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Schritt 11.6

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ als $x^{2} + 1$ um.

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Schritt 11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 11.6.5

Vereinfache.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Schritt 12

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{(- 5 x^{2} + 3 x - 5) (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1}$