Analysis Beispiele

$y = {(x - 1)}^{3}$ , $y = x - 1$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

${(x - 1)}^{3} = x - 1$

Schritt 1.2

Löse ${(x - 1)}^{3} = x - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 1)}^{3} - x = - 1$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Schritt 1.2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Schritt 1.2.1.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Schritt 1.2.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3} - x = - 1$

Schritt 1.2.1.2.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x = - 1$

Schritt 1.2.1.3

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = - 1$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 + 1 = 0$

Schritt 1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 + 1$ .

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Schritt 1.2.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 0 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ und $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 1.2.4.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + 2 x = 0$

Schritt 1.2.4.1.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.4.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 3 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.4.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 3 x) + x \cdot 2$ heraus.

$x (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1 + y = x - 1$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x - 2) (x - 1) = 0$

Schritt 1.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x - 1$

Schritt 1.2.6

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.8

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.8.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = (0) - 1$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = (0) - 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0 - 1$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0) - 1$

Schritt 1.3.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = - 1$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = (2) - 1$

Schritt 1.4.2

Setze $2$ für $x$ in $y = (2) - 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 - 1$

Schritt 1.4.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (2) - 1$

Schritt 1.4.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y = 1$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = (1) - 1$

Schritt 1.5.2

Setze $1$ für $x$ in $y = (1) - 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.5.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1 - 1$

Schritt 1.5.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (1) - 1$

Schritt 1.5.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = 0$

Schritt 1.6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, - 1)$

$(2, 1)$

$(1, 0)$

$(0, - 1)$

$(2, 1)$

$(1, 0)$

Schritt 2

Vereinfache ${(x - 1)}^{3}$ .

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Schritt 2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 d x - \int_{0}^{1} x - 1 d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - (x - 1) d x$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x - - 1$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1$

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1 d x$

Schritt 4.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x + 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x + 0$

Schritt 4.3.1.2

Addiere $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x$ und $0$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - x$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

$\int_{0}^{1} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x d x$

Schritt 4.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Schritt 4.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Schritt 4.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Schritt 4.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 2 x d x$

Schritt 4.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 \int_{0}^{1} x d x$

Schritt 4.10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Schritt 4.11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 4.11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.11.2.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 4.11.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Schritt 4.11.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4

Vereinfache.

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Schritt 4.11.2.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 0 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.6

Addiere $\frac{1}{4}$ und $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 4.11.2.4.9.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.11.2.4.9.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} - 0) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3} + 0) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.11

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.12

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 3}{3} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 4.11.2.4.13.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.11.2.4.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.13.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} - 1 + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.14

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.15

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 1 \cdot 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.11.2.4.17.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1 - 4}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.17.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{- 3}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4} + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.19

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 4.11.2.4.20

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 4.11.2.4.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.11.2.4.21.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 4.11.2.4.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.11.2.4.21.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.11.2.4.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 4.11.2.4.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 4.11.2.4.21.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Schritt 4.11.2.4.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 4.11.2.4.23

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$- \frac{3}{4} + 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.11.2.4.24

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.11.2.4.25

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.11.2.4.25.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{4} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.11.2.4.25.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{4} + 1$

Schritt 4.11.2.4.26

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 4.11.2.4.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 + 4}{4}$

Schritt 4.11.2.4.28

Addiere $- 3$ und $4$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 5

$A r e a = \int_{1}^{2} x - 1 d x - \int_{1}^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 d x$

Schritt 6

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{2} x - 1 - (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) d x$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 1 - x^{3} - (- 3 x^{2}) - (3 x) - - 1$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - (3 x) - - 1$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - - 1$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

$\int_{1}^{2} x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1 d x$

Schritt 6.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ .

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Schritt 6.3.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 0$

Schritt 6.3.1.2

Addiere $x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$ und $0$ .

$x - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$- x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$

$\int_{1}^{2} - x^{3} + 3 x^{2} - 2 x d x$

Schritt 6.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} - x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Schritt 6.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Schritt 6.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Schritt 6.7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Schritt 6.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Schritt 6.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Schritt 6.10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 2 x d x$

Schritt 6.11

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x d x$

Schritt 6.12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2})$

Schritt 6.13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Schritt 6.13.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.13.2.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $2$ und $1$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Schritt 6.13.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $1$ .

$- (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Schritt 6.13.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $1$ .

$- (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4

Vereinfache.

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Schritt 6.13.2.4.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 6.13.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.2.4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$- (4 - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (4 - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.5

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.13.2.4.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{16 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.7.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{15}{4} + 3 \frac{8 - 1}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.11

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$- \frac{15}{4} + 3 (\frac{7}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.12

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{3}$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.13

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{21}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $3$ .

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Schritt 6.13.2.4.14.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.2.4.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{15}{4} + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{15}{4} + \frac{7}{1} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.14.2.4

Dividiere $7$ durch $1$ .

$- \frac{15}{4} + 7 - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.15

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.16

Kombiniere $7$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 15 + 7 \cdot 4}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.13.2.4.18.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$\frac{- 15 + 28}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.18.2

Addiere $- 15$ und $28$ .

$\frac{13}{4} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.19

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.13.2.4.20.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.2.4.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.20.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{13}{4} - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.21

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{13}{4} - 2 (2 - \frac{1}{2})$

Schritt 6.13.2.4.22

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{4} - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 6.13.2.4.23

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 6.13.2.4.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{13}{4} - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 6.13.2.4.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.13.2.4.25.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{13}{4} - 2 \frac{4 - 1}{2}$

Schritt 6.13.2.4.25.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{13}{4} - 2 (\frac{3}{2})$

Schritt 6.13.2.4.26

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 2 \cdot 3}{2}$

Schritt 6.13.2.4.27

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 6}{2}$

Schritt 6.13.2.4.28

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 6.13.2.4.28.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Schritt 6.13.2.4.28.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.2.4.28.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Schritt 6.13.2.4.28.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13}{4} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.13.2.4.28.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{13}{4} + \frac{- 3}{1}$

Schritt 6.13.2.4.28.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$\frac{13}{4} - 3$

Schritt 6.13.2.4.29

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{13}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 6.13.2.4.30

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{13}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Schritt 6.13.2.4.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{13 - 3 \cdot 4}{4}$

Schritt 6.13.2.4.32

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.13.2.4.32.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{13 - 12}{4}$

Schritt 6.13.2.4.32.2

Subtrahiere $12$ von $13$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 7

Addiere die Flächen $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ .

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 1}{4}$

Schritt 7.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{4}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{4}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 8