Analysis Beispiele

$x = 24 y^{2} - 8 y^{3}$ , $x = 6 y^{2} - 18 y$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$24 y^{2} - 8 y^{3} = 6 y^{2} - 18 y$

Schritt 1.2

Löse $24 y^{2} - 8 y^{3} = 6 y^{2} - 18 y$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $6 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 y^{2} - 8 y^{3} - 6 y^{2} = - 18 y$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $18 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$24 y^{2} - 8 y^{3} - 6 y^{2} + 18 y = 0$

Schritt 1.2.1.3

Subtrahiere $6 y^{2}$ von $24 y^{2}$ .

$- 8 y^{3} + 18 y^{2} + 18 y = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 2 y$ aus $- 8 y^{3} + 18 y^{2} + 18 y$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 2 y$ aus $- 8 y^{3}$ heraus.

$- 2 y (4 y^{2}) + 18 y^{2} + 18 y = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 2 y$ aus $18 y^{2}$ heraus.

$- 2 y (4 y^{2}) - 2 y (- 9 y) + 18 y = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $- 2 y$ aus $18 y$ heraus.

$- 2 y (4 y^{2}) - 2 y (- 9 y) - 2 y \cdot - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $- 2 y$ aus $- 2 y (4 y^{2}) - 2 y (- 9 y)$ heraus.

$- 2 y (4 y^{2} - 9 y) - 2 y \cdot - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 2 y$ aus $- 2 y (4 y^{2} - 9 y) - 2 y (- 9)$ heraus.

$- 2 y (4 y^{2} - 9 y - 9) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 y$ heraus.

$- 2 y (4 y^{2} - 9 y - 9) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 9$ um als $3$ plus $- 12$

$- 2 y (4 y^{2} + (3 - 12) y - 9) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 y (4 y^{2} + 3 y - 12 y - 9) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 2 y ((4 y^{2} + 3 y) - 12 y - 9) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 2 y (y (4 y + 3) - 3 (4 y + 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 y + 3$ .

$- 2 y ((4 y + 3) (y - 3)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 y (4 y + 3) (y - 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$4 y + 3 = 0$

$y - 3 = 0 + x = 6 y^{2} - 18 y$

Schritt 1.2.4

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $4 y + 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $4 y + 3$ gleich $0$ .

$4 y + 3 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $4 y + 3 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = - 3$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 3}{4}$

Schritt 1.2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{4}$

Schritt 1.2.6

Setze $y - 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $y - 3$ gleich $0$ .

$y - 3 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 y (4 y + 3) (y - 3) = 0$ wahr machen.

$y = 0, - \frac{3}{4}, 3$

Schritt 1.3

Berechne $x$ bei $y = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $y$ durch $0$ .

$x = 6 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $y$ in $x = 6 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0$ ein, löse dann nach $x$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$x = 6 \cdot 0^{2} - 18 \cdot 0$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$x = 6 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache $6 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 6 \cdot 0 - 18 \cdot 0$

Schritt 1.3.2.3.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$x = 0 - 18 \cdot 0$

Schritt 1.3.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $0$ .

$x = 0 + 0$

Schritt 1.3.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.4

Berechne $x$ bei $y = - \frac{3}{4}$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $y$ durch $- \frac{3}{4}$ .

$x = 6 {(- \frac{3}{4})}^{2} - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $6 {(- \frac{3}{4})}^{2} - 18 (- \frac{3}{4})$ .

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{4}$ an.

$x = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}) - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$x = 6 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{4^{2}}) - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 6 (1 \frac{3^{2}}{4^{2}}) - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$x = 6 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = 6 \frac{9}{4^{2}} - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = 6 (\frac{9}{16}) - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 2 (3) \frac{9}{16} - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$x = 2 \cdot 3 \frac{9}{2 \cdot 8} - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \cdot 3 \frac{9}{2 \cdot 8} - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (\frac{9}{8}) - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.7

Kombiniere $3$ und $\frac{9}{8}$ .

$x = \frac{3 \cdot 9}{8} - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$x = \frac{27}{8} - 18 (- \frac{3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.1.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$x = \frac{27}{8} - 18 (\frac{- 3}{4})$

Schritt 1.4.2.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$x = \frac{27}{8} + 2 (- 9) \frac{- 3}{4}$

Schritt 1.4.2.1.9.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{27}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.1.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{27}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.1.9.5

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{27}{8} - 9 (\frac{- 3}{2})$

Schritt 1.4.2.1.10

Kombiniere $- 9$ und $\frac{- 3}{2}$ .

$x = \frac{27}{8} + \frac{- 9 \cdot - 3}{2}$

Schritt 1.4.2.1.11

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 3$ .

$x = \frac{27}{8} + \frac{27}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Um $\frac{27}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{27}{8} + \frac{27}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 1.4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{27}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{27}{8} + \frac{27 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{27}{8} + \frac{27 \cdot 4}{8}$

Schritt 1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{27 + 27 \cdot 4}{8}$

Schritt 1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.5.1

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$x = \frac{27 + 108}{8}$

Schritt 1.4.2.5.2

Addiere $27$ und $108$ .

$x = \frac{135}{8}$

Schritt 1.5

Berechne $x$ bei $y = 3$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $y$ durch $3$ .

$x = 6 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$

Schritt 1.5.2

Setze $3$ für $y$ in $x = 6 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$ ein, löse dann nach $x$ auf.

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Schritt 1.5.2.1

Entferne die Klammern.

$x = 6 \cdot 3^{2} - 18 \cdot 3$

Schritt 1.5.2.2

Entferne die Klammern.

$x = 6 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache $6 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3$ .

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Schritt 1.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = 6 \cdot 9 - 18 \cdot 3$

Schritt 1.5.2.3.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$x = 54 - 18 \cdot 3$

Schritt 1.5.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$x = 54 - 54$

Schritt 1.5.2.3.2

Subtrahiere $54$ von $54$ .

$x = 0$

Schritt 1.6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(\frac{135}{8}, - \frac{3}{4})$

$(0, 3)$

$(0, 0)$

$(\frac{135}{8}, - \frac{3}{4})$

$(0, 3)$

Schritt 2

Stelle $24 y^{2}$ und $- 8 y^{3}$ um.

$x = - 8 y^{3} + 24 y^{2}$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 6 y^{2} - 18 y d y - \int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 8 y^{3} + 24 y^{2} d y$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $- \frac{3}{4}$ und $0$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- \frac{3}{4}}^{0} 6 y^{2} - 18 y - (- 8 y^{3} + 24 y^{2}) d y$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 y^{2} - 18 y - (- 8 y^{3}) - (24 y^{2})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$6 y^{2} - 18 y + 8 y^{3} - (24 y^{2})$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$6 y^{2} - 18 y + 8 y^{3} - 24 y^{2}$

$\int_{- \frac{3}{4}}^{0} 6 y^{2} - 18 y + 8 y^{3} - 24 y^{2} d y$

Schritt 4.3

Subtrahiere $24 y^{2}$ von $6 y^{2}$ .

$\int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y^{2} - 18 y + 8 y^{3} d y$

Schritt 4.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y^{2} d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Schritt 4.5

Da $- 18$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 18$ aus dem Integral.

$- 18 \int_{- \frac{3}{4}}^{0} y^{2} d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Schritt 4.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- 18 (\frac{1}{3} y^{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} - 18 y d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Schritt 4.8

Da $- 18$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 18$ aus dem Integral.

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 \int_{- \frac{3}{4}}^{0} y d y + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Schritt 4.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + \int_{- \frac{3}{4}}^{0} 8 y^{3} d y$

Schritt 4.11

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + 8 \int_{- \frac{3}{4}}^{0} y^{3} d y$

Schritt 4.12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + 8 (\frac{1}{4} y^{4}]_{- \frac{3}{4}}^{0})$

Schritt 4.13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.13.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$- 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) - 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- \frac{3}{4}}^{0})$

Schritt 4.13.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.13.2.1

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $0$ und $- \frac{3}{4}$ .

$- 18 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{- \frac{3}{4}}^{0}) + 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- \frac{3}{4}}^{0})$

Schritt 4.13.2.2

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $0$ und $- \frac{3}{4}$ .

$- 18 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{- \frac{3}{4}}^{0})$

Schritt 4.13.2.3

Berechne $\frac{y^{4}}{4}$ bei $0$ und $- \frac{3}{4}$ .

$- 18 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4

Vereinfache.

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Schritt 4.13.2.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 18 (\frac{0}{3} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 4.13.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- 18 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.13.2.4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 18 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 18 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 18 (\frac{0}{1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 18 (0 - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{3}{4}$ heraus.

$- 18 (0 - \frac{{(- (\frac{3}{4}))}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.4

Wende die Produktregel auf $- (\frac{3}{4})$ an.

$- 18 (0 - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 18 (0 - \frac{- {(\frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 18 (0 - - \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 18 (0 + 1 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.8

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3}$ mit $1$ .

$- 18 (0 + \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3}) - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.9

Addiere $0$ und $\frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3}$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{0}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.2.4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.2.4.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (\frac{0}{1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (0 - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{3}{4}$ heraus.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (0 - \frac{{(- (\frac{3}{4}))}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.13

Wende die Produktregel auf $- (\frac{3}{4})$ an.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.14

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (0 - \frac{1 {(\frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.15

Mutltipliziere ${(\frac{3}{4})}^{2}$ mit $1$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.16

Subtrahiere $\frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2}$ von $0$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} - 18 (- \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2}) + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.18

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (\frac{0}{4} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.2.4.19.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (\frac{4 (0)}{4} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.2.4.19.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (\frac{0}{1} - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.19.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (0 - \frac{{(- \frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.20

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{3}{4}$ heraus.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (0 - \frac{{(- (\frac{3}{4}))}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.21

Wende die Produktregel auf $- (\frac{3}{4})$ an.

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (0 - \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.22

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (0 - \frac{1 {(\frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.23

Mutltipliziere ${(\frac{3}{4})}^{4}$ mit $1$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.24

Subtrahiere $\frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$ von $0$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} + 8 (- \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4})$

Schritt 4.13.2.4.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 18$ heraus.

$3 (- 6) \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot - 6 \frac{{(\frac{3}{4})}^{3}}{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 {(\frac{3}{4})}^{3} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$- 6 \frac{3^{3}}{4^{3}} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 6 \frac{27}{4^{3}} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- 6 (\frac{27}{64}) + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.3.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 (- 3) \frac{27}{64} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$2 \cdot - 3 \frac{27}{2 \cdot 32} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 3 \frac{27}{2 \cdot 32} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3 (\frac{27}{32}) + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{27}{32}$ .

$\frac{- 3 \cdot 27}{32} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $27$ .

$\frac{- 81}{32} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{81}{32} + 18 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.3.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$- \frac{81}{32} + 2 (9) \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{81}{32} + 2 \cdot 9 \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{81}{32} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.10

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$- \frac{81}{32} + 9 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{81}{32} + 9 \frac{9}{4^{2}} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.12

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{81}{32} + 9 (\frac{9}{16}) - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.13

Multipliziere $9 (\frac{9}{16})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.3.1.13.1

Kombiniere $9$ und $\frac{9}{16}$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{9 \cdot 9}{16} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.13.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - 8 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.3.1.14.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8$ heraus.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} + 4 (- 2) \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} + 4 \cdot - 2 \frac{{(\frac{3}{4})}^{4}}{4}$

Schritt 4.13.3.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - 2 {(\frac{3}{4})}^{4}$

Schritt 4.13.3.1.15

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - 2 \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Schritt 4.13.3.1.16

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - 2 \frac{81}{4^{4}}$

Schritt 4.13.3.1.17

Potenziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - 2 (\frac{81}{256})$

Schritt 4.13.3.1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.3.1.18.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} + 2 (- 1) \frac{81}{256}$

Schritt 4.13.3.1.18.2

Faktorisiere $2$ aus $256$ heraus.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{81}{2 \cdot 128}$

Schritt 4.13.3.1.18.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{81}{2 \cdot 128}$

Schritt 4.13.3.1.18.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{81}{32} + \frac{81}{16} - \frac{81}{128}$

Schritt 4.13.3.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{81}{32}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{81}{32} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{81}{16} - \frac{81}{128}$

Schritt 4.13.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{81}{32}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{32 \cdot 4} + \frac{81}{16} - \frac{81}{128}$

Schritt 4.13.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{81}{16}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{32 \cdot 4} + \frac{81}{16} \cdot \frac{8}{8} - \frac{81}{128}$

Schritt 4.13.3.2.4

Mutltipliziere $\frac{81}{16}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{32 \cdot 4} + \frac{81 \cdot 8}{16 \cdot 8} - \frac{81}{128}$

Schritt 4.13.3.2.5

Stelle die Faktoren von $32 \cdot 4$ um.

$- \frac{81 \cdot 4}{4 \cdot 32} + \frac{81 \cdot 8}{16 \cdot 8} - \frac{81}{128}$

Schritt 4.13.3.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{128} + \frac{81 \cdot 8}{16 \cdot 8} - \frac{81}{128}$

Schritt 4.13.3.2.7

Stelle die Faktoren von $16 \cdot 8$ um.

$- \frac{81 \cdot 4}{128} + \frac{81 \cdot 8}{8 \cdot 16} - \frac{81}{128}$

Schritt 4.13.3.2.8

Mutltipliziere $8$ mit $16$ .

$- \frac{81 \cdot 4}{128} + \frac{81 \cdot 8}{128} - \frac{81}{128}$

Schritt 4.13.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 81 \cdot 4 + 81 \cdot 8 - 81}{128}$

Schritt 4.13.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.13.3.4.1

Mutltipliziere $- 81$ mit $4$ .

$\frac{- 324 + 81 \cdot 8 - 81}{128}$

Schritt 4.13.3.4.2

Mutltipliziere $81$ mit $8$ .

$\frac{- 324 + 648 - 81}{128}$

Schritt 4.13.3.5

Addiere $- 324$ und $648$ .

$\frac{324 - 81}{128}$

Schritt 4.13.3.6

Subtrahiere $81$ von $324$ .

$\frac{243}{128}$

Schritt 5

$A r e a = \int_{0}^{3} - 8 y^{3} + 24 y^{2} d y - \int_{0}^{3} 6 y^{2} - 18 y d y$

Schritt 6

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $3$ zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{3} - 8 y^{3} + 24 y^{2} - (6 y^{2} - 18 y) d y$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 8 y^{3} + 24 y^{2} - (6 y^{2}) - (- 18 y)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 8 y^{3} + 24 y^{2} - 6 y^{2} - (- 18 y)$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 1$ .

$- 8 y^{3} + 24 y^{2} - 6 y^{2} + 18 y$

$\int_{0}^{3} - 8 y^{3} + 24 y^{2} - 6 y^{2} + 18 y d y$

Schritt 6.3

Subtrahiere $6 y^{2}$ von $24 y^{2}$ .

$\int_{0}^{3} - 8 y^{3} + 18 y^{2} + 18 y d y$

Schritt 6.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} - 8 y^{3} d y + \int_{0}^{3} 18 y^{2} d y + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Schritt 6.5

Da $- 8$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$- 8 \int_{0}^{3} y^{3} d y + \int_{0}^{3} 18 y^{2} d y + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Schritt 6.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$- 8 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 y^{2} d y + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Schritt 6.7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 y^{2} d y + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Schritt 6.8

Da $18$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $18$ aus dem Integral.

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 \int_{0}^{3} y^{2} d y + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Schritt 6.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Schritt 6.10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 y d y$

Schritt 6.11

Da $18$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $18$ aus dem Integral.

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 \int_{0}^{3} y d y$

Schritt 6.12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3})$

Schritt 6.13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$- 8 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Schritt 6.13.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.13.2.1

Berechne $\frac{y^{4}}{4}$ bei $3$ und $0$ .

$- 8 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 18 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Schritt 6.13.2.2

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $3$ und $0$ .

$- 8 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Schritt 6.13.2.3

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $3$ und $0$ .

$- 8 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4

Vereinfache.

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Schritt 6.13.2.4.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 6.13.2.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.2.4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 8 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 8 (\frac{81}{4} - 0) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 8 (\frac{81}{4} + 0) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.5

Addiere $\frac{81}{4}$ und $0$ .

$- 8 (\frac{81}{4}) + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.6

Kombiniere $- 8$ und $\frac{81}{4}$ .

$\frac{- 8 \cdot 81}{4} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $81$ .

$\frac{- 648}{4} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 648$ und $4$ .

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Schritt 6.13.2.4.8.1

Faktorisiere $4$ aus $- 648$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 162}{4} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.2.4.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 162}{4 (1)} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 162}{4 \cdot 1} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 162}{1} + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.8.2.4

Dividiere $- 162$ durch $1$ .

$- 162 + 18 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.9

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- 162 + 18 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 6.13.2.4.10.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$- 162 + 18 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.2.4.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 162 + 18 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 162 + 18 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 162 + 18 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.10.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$- 162 + 18 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 162 + 18 (9 - \frac{0}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 6.13.2.4.12.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- 162 + 18 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.2.4.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 162 + 18 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 162 + 18 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 162 + 18 (9 - \frac{0}{1}) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 162 + 18 (9 - 0) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 162 + 18 (9 + 0) + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.14

Addiere $9$ und $0$ .

$- 162 + 18 \cdot 9 + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.15

Mutltipliziere $18$ mit $9$ .

$- 162 + 162 + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.16

Addiere $- 162$ und $162$ .

$0 + 18 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.17

Potenziere $3$ mit $2$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 6.13.2.4.18

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Schritt 6.13.2.4.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 6.13.2.4.19.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 6.13.2.4.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.2.4.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 6.13.2.4.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 6.13.2.4.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Schritt 6.13.2.4.19.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2} - 0)$

Schritt 6.13.2.4.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2} + 0)$

Schritt 6.13.2.4.21

Addiere $\frac{9}{2}$ und $0$ .

$0 + 18 (\frac{9}{2})$

Schritt 6.13.2.4.22

Kombiniere $18$ und $\frac{9}{2}$ .

$0 + \frac{18 \cdot 9}{2}$

Schritt 6.13.2.4.23

Mutltipliziere $18$ mit $9$ .

$0 + \frac{162}{2}$

Schritt 6.13.2.4.24

Kürze den gemeinsamen Teiler von $162$ und $2$ .

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Schritt 6.13.2.4.24.1

Faktorisiere $2$ aus $162$ heraus.

$0 + \frac{2 \cdot 81}{2}$

Schritt 6.13.2.4.24.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.13.2.4.24.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$0 + \frac{2 \cdot 81}{2 (1)}$

Schritt 6.13.2.4.24.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.13.2.4.24.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{81}{1}$

Schritt 6.13.2.4.24.2.4

Dividiere $81$ durch $1$ .

$0 + 81$

Schritt 6.13.2.4.25

Addiere $0$ und $81$ .

$81$

Schritt 7

Addiere die Flächen $\frac{243}{128} + 81$ .

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Schritt 7.1

Um $81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{128}{128}$ .

$\frac{243}{128} + 81 \cdot \frac{128}{128}$

Schritt 7.2

Kombiniere $81$ und $\frac{128}{128}$ .

$\frac{243}{128} + \frac{81 \cdot 128}{128}$

Schritt 7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{243 + 81 \cdot 128}{128}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $81$ mit $128$ .

$\frac{243 + 10368}{128}$

Schritt 7.4.2

Addiere $243$ und $10368$ .

$\frac{10611}{128}$

Schritt 8