Analysis Beispiele

$f (x) = \csc (\tan (3^{x^{2}}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = \tan (3^{x^{2}})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (3^{x^{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (3^{x^{2}})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\csc (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (3^{x^{2}})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (3^{x^{2}})$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \frac{d}{d x} [\tan (3^{x^{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 3^{x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3^{x^{2}}$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3^{x^{2}}$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) (\sec^{2} (3^{x^{2}}) \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 3^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $x^{2}$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (\frac{d}{d u_{3}} [3^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (3^{u_{3}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x^{2}$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (3^{x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (3^{x^{2}} \ln (3) (2 x))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $- 2 \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$ um.

$- 2 \cdot 3^{x^{2}} x \sec^{2} (3^{x^{2}}) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \csc (\tan (3^{x^{2}})) \ln (3)$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $- 2 \cdot 3^{x^{2}} x \sec^{2} (3^{x^{2}}) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \csc (\tan (3^{x^{2}})) \ln (3)$ um.

$- 2 x \cdot 3^{x^{2}} \sec^{2} (3^{x^{2}}) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \csc (\tan (3^{x^{2}})) \ln (3)$