Analysis Beispiele

$\frac{e^{2 u}}{e^{u} + e^{- u}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ gleich $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ ist mit $f (u) = e^{2 u}$ und $g (u) = e^{u} + e^{- u}$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u}] - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = e^{u}$ und $g (u) = 2 u$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 u$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 u$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (e^{2 u} \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $2 u$ nach $u$ gleich $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} (2 \frac{d}{d u} [u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} (2 \cdot 1) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} \cdot 2 - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u}$ .

$\frac{2 \cdot ((e^{u} + e^{- u}) e^{2 u}) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{u} + e^{- u}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [e^{u}] + \frac{d}{d u} [e^{- u}]$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (\frac{d}{d u} [e^{u}] + \frac{d}{d u} [e^{- u}])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + \frac{d}{d u} [e^{- u}])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = e^{u}$ und $g (u) = - u$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- u$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{u_{2}} \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- u$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- u$ nach $u$ gleich $- \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} (- \frac{d}{d u} [u]))}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} (- 1 \cdot 1))}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} \cdot - 1)}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- u}$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - 1 \cdot e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Schreibe $- 1 e^{- u}$ als $- e^{- u}$ um.

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 e^{u} + 2 e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{u} e^{2 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{u} e^{2 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1.1

Multipliziere $e^{u}$ mit $e^{2 u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1.1.1

Bewege $e^{2 u}$ .

$\frac{2 (e^{2 u} e^{u}) + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{2 u + u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.1.3

Addiere $2 u$ und $u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2

Multipliziere $e^{- u}$ mit $e^{2 u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1.2.1

Bewege $e^{2 u}$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 (e^{2 u} e^{- u}) - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{2 u - u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2.3

Subtrahiere $u$ von $2 u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.3

Multipliziere $e^{2 u}$ mit $e^{u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1.3.1

Bewege $e^{u}$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - (e^{u} e^{2 u}) - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{u + 2 u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.3.3

Addiere $u$ und $2 u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{2 u} e^{- u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.5

Multipliziere $e^{2 u}$ mit $e^{- u}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1.5.1

Bewege $e^{- u}$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 (e^{- u} e^{2 u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{- u + 2 u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.5.3

Addiere $- u$ und $2 u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} + 1 e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.7

Mutltipliziere $e^{u}$ mit $1$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} + e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $e^{3 u}$ von $2 e^{3 u}$ .

$\frac{2 e^{u} + e^{3 u} + e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Schritt 7.4.3

Addiere $2 e^{u}$ und $e^{u}$ .

$\frac{3 e^{u} + e^{3 u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$