Analysis Beispiele

$2 x - \frac{3 x}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{3 x}{\sqrt{x}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{\sqrt{x}}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}})]$

Schritt 3.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 (x^{- \frac{1}{2}} x))]$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}))]$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{- \frac{1}{2} + 1})]$

Schritt 3.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}})]$

Schritt 3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}})]$

Schritt 3.3.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- (3 x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.13

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 + \frac{- 3 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.14

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$