Analysis Beispiele

$1 - {(\frac{10}{x})}^{4}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - {(\frac{10}{x})}^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- {(\frac{10}{x})}^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- {(\frac{10}{x})}^{4}]$

Schritt 1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- {(\frac{10}{x})}^{4}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- {(\frac{10}{x})}^{4}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(\frac{10}{x})}^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(\frac{10}{x})}^{4}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(\frac{10}{x})}^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \frac{10}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{10}{x}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 - (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{10}{x}$ .

$0 - (4 {(\frac{10}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Schritt 2.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10}{x}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 - (4 {(\frac{10}{x})}^{3} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$0 - (4 {(\frac{10}{x})}^{3} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - (4 {(\frac{10}{x})}^{3} (10 (- x^{- 2})))$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$0 - (4 {(\frac{10}{x})}^{3} (- 10 x^{- 2}))$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 10$ mit $4$ .

$0 - (- 40 {(\frac{10}{x})}^{3} x^{- 2})$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 1$ .

$0 + 40 {(\frac{10}{x})}^{3} x^{- 2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 40 {(\frac{10}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{10}{x}$ an.

$0 + 40 \frac{10^{3}}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Potenziere $10$ mit $3$ .

$0 + 40 \frac{1000}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $40$ und $\frac{1000}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{40 \cdot 1000}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $40$ mit $1000$ .

$0 + \frac{40000}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\frac{40000}{x^{3}}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{40000}{x^{3} x^{2}}$

Schritt 3.3.5

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + \frac{40000}{x^{3 + 2}}$

Schritt 3.3.5.2

Addiere $3$ und $2$ .

$0 + \frac{40000}{x^{5}}$

Schritt 3.3.6

Addiere $0$ und $\frac{40000}{x^{5}}$ .

$\frac{40000}{x^{5}}$