Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{924 + 10 \sqrt{x}}{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{924 + 10 x^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 924 + 10 x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [924 + 10 x^{\frac{1}{2}}] - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $924 + 10 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [924] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [924] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Da $924$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $924$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{1}{2}}] - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x (10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (10 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (10 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 10

Kombiniere $10$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x \frac{10 x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x \frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 12

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{x \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{x \frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 14

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x \cdot 5}{x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 15

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{5 \cdot x}{x^{\frac{1}{2}}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 16

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{5 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{1}{2}} x) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 17.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2} + 1} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 19

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - (924 + 10 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 924 - (10 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 20.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $924$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - 924 - (10 x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Schritt 20.2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{5 x^{\frac{1}{2}} - 924 - 10 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 20.2.2

Subtrahiere $10 x^{\frac{1}{2}}$ von $5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} - 924}{x^{2}}$

Schritt 20.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{\frac{1}{2}} - 924$ heraus.

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Schritt 20.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{- (5 x^{\frac{1}{2}}) - 924}{x^{2}}$

Schritt 20.3.2

Schreibe $- 924$ als $- 1 (924)$ um.

$\frac{- (5 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (924)}{x^{2}}$

Schritt 20.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{\frac{1}{2}}) - 1 (924)$ heraus.

$\frac{- (5 x^{\frac{1}{2}} + 924)}{x^{2}}$

Schritt 20.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 x^{\frac{1}{2}} + 924}{x^{2}}$