Analysis Beispiele

$t^{- 3} (2 t - 2)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{- 3}$ und $g (t) = 2 t - 2$ .

$t^{- 3} \frac{d}{d t} [2 t - 2] + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t - 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$t^{- 3} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]) + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{- 3} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]) + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$t^{- 3} (2 + \frac{d}{d t} [- 2]) + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Schritt 2.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t^{- 3} (2 + 0) + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$t^{- 3} \cdot 2 + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Schritt 2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{- 3}$ .

$2 \cdot t^{- 3} + (2 t - 2) \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$2 t^{- 3} + (2 t - 2) (- 3 t^{- 4})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 t^{- 3} + 2 t (- 3 t^{- 4}) - 2 (- 3 t^{- 4})$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$2 t^{- 3} - 6 t \cdot t^{- 4} - 2 (- 3 t^{- 4})$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $t$ mit $t^{- 4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege $t^{- 4}$ .

$2 t^{- 3} - 6 (t^{- 4} t) - 2 (- 3 t^{- 4})$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $t^{- 4}$ mit $t$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$2 t^{- 3} - 6 (t^{- 4} t^{1}) - 2 (- 3 t^{- 4})$

Schritt 3.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 t^{- 3} - 6 t^{- 4 + 1} - 2 (- 3 t^{- 4})$

Schritt 3.2.2.3

Addiere $- 4$ und $1$ .

$2 t^{- 3} - 6 t^{- 3} - 2 (- 3 t^{- 4})$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$2 t^{- 3} - 6 t^{- 3} + 6 t^{- 4}$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $6 t^{- 3}$ von $2 t^{- 3}$ .

$- 4 t^{- 3} + 6 t^{- 4}$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{t^{3}} + 6 t^{- 4}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{t^{3}}$ .

$\frac{- 4}{t^{3}} + 6 t^{- 4}$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{t^{3}} + 6 t^{- 4}$

Schritt 3.3.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{t^{3}} + 6 \frac{1}{t^{4}}$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{t^{4}}$ .

$- \frac{4}{t^{3}} + \frac{6}{t^{4}}$