Analysis Beispiele

$\frac{2 x + 1}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x + 1$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{x (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{x \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 2 + (- (2 x) - 1 \cdot 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 2 - (2 x) \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 \cdot x - (2 x) \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 2 x - 1 \cdot 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.3.1.4

Multipliziere $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 2 x - 1}{x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{0 - 1}{x^{2}}$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{x^{2}}$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{2}}$