Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 9 x + 9$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (3 {(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere ${(9 x + 9)}^{2}$ und $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Schritt 3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(9 x + 9)}^{2}$ heraus.

$\frac{3 ({(9 x + 9)}^{2})}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.7

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + 0)$

Schritt 3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \cdot 9$

Schritt 3.8.2

Kombiniere $\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2}$ und $9$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 9}{2}$

Schritt 3.8.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(9 x + 9)}^{2}$ als $(9 x + 9) (9 x + 9)$ um.

$\frac{9 ((9 x + 9) (9 x + 9))}{2}$

Schritt 4.2

Multipliziere $(9 x + 9) (9 x + 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (9 x (9 x + 9) + 9 (9 x + 9))}{2}$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x + 9))}{2}$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{9 (9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Schritt 4.3.1.5

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 9 \cdot 9)}{2}$

Schritt 4.3.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 81)}{2}$

Schritt 4.3.2

Addiere $81 x$ und $81 x$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 162 x + 81)}{2}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (81 x^{2}) + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $81$ mit $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $162$ mit $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 9 \cdot 81}{2}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $9$ mit $81$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 729}{2}$