Analysis Beispiele

$x \sqrt{x - a}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - a}$ als ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - a$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - a$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - a$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.3

Bringe ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - a$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11

Da $- a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- a$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 14

Mutltipliziere ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 15

Um ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16

Kombiniere ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18

Multipliziere ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 18.1

Bewege ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 19

Vereinfache ${(x - a)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - a$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21

Vereinfache.

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Schritt 21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 21.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.2.2

Addiere $x$ und $2 x$ .

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 a$ heraus.

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.5

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 a) - (- 3 x)$ heraus.

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.7

Schreibe $- (2 a - 3 x)$ als $- 1 (2 a - 3 x)$ um.

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 21.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$