Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}}]$

Schritt 2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1}$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.2

Vereine die Terme

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

Schritt 10.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$